阿奎那論數學科學的心象

在處理完變動存在者（mobile being）或是物質實體的科學後，阿奎那在《波三探》第五問第三題處理量化存在者（quantified being）¹或是數學科學的對象。本題的問題為：「沒有變易與質料之數學的考慮是否是關於那些存在於物質中者²？」也就是探討數學對象是否本性上沒有變易與質料，卻在存在上與質料聯合³。而艾爾德認為本題涉及兩個核心問題：首先，是數學對象的存在學地位；其次，是關於人類認知如何攝受數學對象的問題⁴。本問正解因為涉及到爭論千年的數學對象之實在性（reality）問題⁵，阿奎那的論述極為細瑣龐雜，我們可以摘要其論證主軸如下：

• 抽象作用只能實施在存在為一體但是性體可以獨立被理解者⁶；
• 量（悟性質料）存在於質（可感質料）內但是可以獨立在質（可感質料）外被理解⁷；
• 量（悟性質料）可以從質（可感質料）中抽象出來⁸。

我們可以進一步推論：

• 數學的對象是量；
• 物理學的對象是質；
• 數學對象可以獨立在物理學之外被理解。

綜觀全文可以發現阿奎那的論證主軸扣緊在抽象作用，也就是人類理智的認知作用上。阿奎那在此問正解中分了抽象作用實施的兩大特性，首先，是他只能作用在在存在上（secundum rem）為一體的存在者⁹；其次，是只能作用在該對象之性體（ratio）無需憑藉其他性體就可以被充分理解者，也就是說該對象的定義在不包含其他定義在內的前提下就可以成立¹⁰。而抽象作用的運作根基於本文第三章所提到的理智運作的第一過站¹¹，即是「把握」（apprehensio）。使理性能把握存在者的不可分性與非組合性（intelligentia indivisibilium sive incomplexorum）。阿奎那在正解裡舉了幾個例子顯明此義。例如「字母」（littera）和「音節」（syllaba），字母組合成音節，而字母的定義可以獨立在音節之外被理解，音節的定義不可以排除字母被理解（也就是音節的定義包含字母），所以說字母可以從音節中抽象而出¹²。或是「動物」（animal）之於「腳」（pes），動物的定義可以獨立在腳之外被理解，所以說動物可以從腳中被抽象出來¹³。最後像是「白色」（albdo）與「人類」（homo），彼此可以存在為一體，但是定義也可以獨立於彼此外被理解，可以互相抽象而出¹⁴。

阿奎那也舉了兩個反面的例子。首先，同樣是腳之於動物，腳的定義中必然包含著動物，所以腳不能從動物中抽象而出。其次，「扁塌」（simum）和「鼻子」（nasus）。需要注意的是，這個案例中所謂「扁塌」在拉丁文的定義裡就是專門指著鼻子的形狀，不用來指涉別的事物。這樣，扁塌的定義中必然涵蓋鼻子，所以前者不能從後者中抽象而出¹⁵。從這些例子裡面可以發現，基於理智首重作運的抽象作用是在掌握存在者的性體或定義也就是不可分性，正是不可分性使之可以獨立被理解。

阿奎那又在正解中從附體落實到實體上的存在學次序來解釋實體、量與質的關係進而解釋了其認知上的次序。量與質為十範疇的兩種附體。所有附體的性體都植基在實體之上，也就是附體的定義都必須包含其實體在內¹⁶。其次，附體落實或限定到實體有一定的次序¹⁷：先有實體，然後在悟性質料基礎上開出量¹⁸，所以量的性體內包含悟性質料；然後在可感質料上開出質¹⁹，所以質的性體內包含感性質料；然後在特定質料中開出性質與變易²⁰，所以性質與變易的性體包含特定質料。所以，可以從性質與變易（特定質料）中抽出質（共同質料）中抽出量（悟性質料），再從量（悟性質料）中抽出實體，但是不能反過來操作；也不能從特定質料中抽出性質與變易，不能從共同質料中抽出質，不能從悟性質料中抽出量²¹。從這樣的解釋裡面，我們可以得出以下結論：首先，在存在的次序上，作為數學對象的量的性體內包含實體但是不必然含有質，所以在認知上可以獨立在質外被理解，也就是可以從質中抽象出來。其次，正是認知上抽象作用的兩大特性可以證成數學對象的性體（量）首先與物質聯合（存在於物質中），其次不需依賴其他性體，是完整獨立的性體（本性內沒有質料）。

1. John F. Wippel, The Metaphysical Thoughts of Thomas Aquinas (Washington: The Catholic University of American Press, 2000), p. 9. “Each of these other theoretical sciences examines one part of being (such as mobile being or quantified being.)” ↩︎
2. SBDT., “Tertio. Utrum mathematica consideratio sit sine motu et materia de his quae sunt in materia.” ↩︎
3. Douglas G Hall. The Trinity: An Analysis of St. Thomas Aquinas Expositio of the De Triniate of Boethius (Leiden: Brill, 1992), p. 89. “The initial problem addressed in this article is wether mathematics treats what initially exists in matter and motion, but then abstracts from these conditions.” ↩︎
4. Leo Elders, Faith and Science: An Instruction to St. Thomas Expositio in Boethii De Trinitate (Rome: Herder, 1974), p. 96. “The problem may be approached in a twofold way: what is the ontological status or reality of mathematicals, and secondly what is the nature of the act of knowledge which grasps the mathematicals?” ↩︎
5. Ibid., p. 96. “The question of what is the precise nature of mathematical knowledge is one of the more important problems disscussed all during the long history of philosophy from Plato’s days to the age of Einstein and Russell.” ↩︎
6. SBDT., q.5, a.3, responsio. “Haec autem distinctio recte dicitur abstractio, sed tunc tatum quando ea, quorum unum sine altero intelligitur, sunt simul secundum rem.” ↩︎
7. Ibid., q.5, a.3, responsio. “Sed accidentia superveniunt substantiae quodam ordine. Nam primo advenit ei quantitas, deinde qualitas, deinde passiones et motus. Unde quantitas potest intelligi in materia subiecta, antequam intelligantur in ea qualitates sensibiles, a quibus dicitur materia sensibilis. Et sic secundum rationem suae substantiae non dependet quantitas a materia sensibili, sed solum a materia intelligibili.” ↩︎
8. Ibid., q.5, a.3, responsio. “Sed intelligitur de forma accidentali, quae est quantitas et figura, a qua quidem materia sensibilis per intellectum abstrahi non potest, cum qualitates sensibiles non possint intelligi non praeintellecta quantitate, sicut patet in superficie et colore, ….” ↩︎
9. SBDT., q.5, a.3, responsio. “Haec autem distinctio recte dicitur abstractio, sed tunc tatum quando ea, quorum unum sine altero intelligitur, sunt simul secundum rem.” ↩︎
10. SBDT., q.5, a.3, responsio. “Si vero unum ab altero non dependeat secundum id quod constituit rationem naturae, tunc unum potest ab altero abstrahi per intellectum ut sine eo intelligatur, ….” ↩︎
11. SBDT., q.5, a.3, responsio. “Sed secundum primam operationem potest abstrahere ea quae secundum rem separata non sunt,….” ↩︎
12. Ibid., q.5, a.3, responsio. “…sicut littera potest intelligi sine syllaba, sed non e converso,….” ↩︎
13. Ibid., q.5, a.3, responsio. “…sicut pes non potest intelligi sine intellectu animalis, quia illud, a quo pes habet rationem pedis, dependet ab eo, a quo animal est animal,….” ↩︎
14. Ibid., q.5, a.3, responsio. “…sicut albedo potest intelligi sine homine, et e converso.” ↩︎
15. Ibid., q.5, a.3, responsio. “...sicut simum non potest intelligi sine naso….” ↩︎
16. Ibid., q.5, a.3, responsio. “Unde cum omnia accidentia comparentur ad substantiam subjectam sicut forma ad materiam et cuiuslibet accidentis ratio dependeat ad subjectiam, impossibile est aliquam talem formam a subjectia separari.“ ↩︎
17. Ibid., q.5, a.3, responio. “Sed accidentia superveniunt substantiae quodam ordine. Nam primo advenit ei quantitas, deinde qualitas, deinde passiones et motus.” ↩︎
18. Ibid., q.5, a.3, responsio. “Et sic secundum rationem suae substantiae non dependet quantitas a materia sensibili, sed solum a materia intelligibili.” ↩︎
19. Ibid., q.5, a.3, responsio. “…antequam intelligantur in ea qualitates sensibiles, a quibus dicitur materia sensibilis.” ↩︎
20. Ibid., q.5, a.2, responsio. “…oportet quod secundum hoc aliquid sit mobile, quod est hic et nunc. Hoc autem consequitur rem ipsam mobilem, secundum quod est individuata per materiam exsistentem sub dimensionibus signatis.” ↩︎
21. 請參考上文論證摘要的註腳引文。 ↩︎